1. 引言

本工作研究希尔伯特空间中二阶非线性演化方程的柯西问题，该方程代表了Ball积分微分方程的抽象推广。该方程的主要部分具有自伴正定算子，这些算子可能是无界的。主要目标是开发并分析一个三层对称半离散格式，用于逼近该问题的解，其中非线性项使用积分均值进行逼近。

所考虑的方程推广了J.M. Ball的梁方程，而Ball的梁方程本身扩展了最初由S. Woinowsky-Krieger推导的基尔霍夫型非线性梁方程。Ball的贡献引入了阻尼项以考虑外部和内部阻尼效应。基尔霍夫方程的研究始于Bernstein的开创性工作，随后由众多研究者扩展，包括Arosio、Panizzi、Berselli、Manfrin、D'Ancona、Spagnolo、Medeiros、Matos、Nishihara等。

先前的研究集中于基尔霍夫型方程的各种方面，包括适定性、全局可解性和低正则性解的存在性。本工作中考虑的抽象类似物得益于主算子的平方参与线性部分，这有助于获得必要的先验估计。

2. 数学表述

柯西问题在希尔伯特空间H中表述为二阶非线性演化方程：

u''(t) + A u(t) + M(||B u(t)||²) u(t) = f(t, u(t), u'(t)), t ∈ (0,T]

初始条件为：

u(0) = u₀, u'(0) = u₁

其中A和B是H中的自伴正定算子，可能无界，M是表示积分均值逼近的非线性函数。项||B u(t)||²表示抽象设置中梯度范数的平方。

算子A和B满足某些谱条件，确保问题的适定性。假设非线性M是局部利普希茨连续的，并满足适当的增长条件以保证解的存在性和唯一性。

3. 三层半离散格式

提出的时间离散化三层半离散格式为：

(u^{n+1} - 2u^n + u^{n-1})/τ² + A u^n + M(||B u^n||²) u^n = f(t_n, u^n, (u^{n+1} - u^{n-1})/(2τ))

其中τ表示时间步长，u^n在时间t_n = nτ处逼近u(t_n)，涉及梯度的非线性项使用积分均值进行逼近。

该格式是对称的，旨在保持连续问题的某些能量性质。使用积分均值逼近非线性项确保了比直接线性化方法更好的稳定性。

离散初始条件为：

u⁰ = u₀, u¹ = u₀ + τ u₁ + (τ²/2)(-A u₀ - M(||B u₀||²) u₀ + f(0, u₀, u₁))

4. 稳定性分析

稳定性分析分几个阶段进行。首先，我们建立非线性离散问题解及其相应的一阶导数差分类似物的一致有界性。

定理4.1（一致有界性）： 在算子A、B和非线性M的适当假设下，非线性离散问题的解{u^n}和差商{(u^{n+1} - u^n)/τ}关于离散参数τ是一致有界的。

对于相应的线性离散问题，我们使用双变量切比雪夫多项式推导高阶先验估计。这些估计对于建立非线性离散问题的稳定性至关重要。

定理4.2（稳定性）： 三层半离散格式是稳定的，意味着初始数据和右端的小扰动导致数值解的小变化，放大因子由离散参数控制。

证明依赖于能量估计和通过积分均值逼近对非线性项的仔细处理。

5. 收敛性结果

对于光滑解，我们提供了近似解的误差估计。主要收敛结果总结在以下定理中：

定理5.1（误差估计）： 假设精确解u(t)充分光滑。则存在常数C > 0，与τ无关，使得误差e^n = u(t_n) - u^n满足：

max₀≤n≤N ||e^n|| ≤ C τ²

其中N = T/τ是时间步数。

证明利用了一致性分析、稳定性结果以及非线性项积分均值的逼近性质。由于三层格式的对称性和对非线性的仔细处理，实现了二阶精度。

6. 迭代方法

应用迭代方法求解每个时间步的近似解。在时间步n+1处求解非线性离散问题的迭代格式为：

(u^{n+1,k+1} - 2u^n + u^{n-1})/τ² + A u^n + M(||B u^n||²) u^n = f(t_n, u^n, (u^{n+1,k} - u^{n-1})/(2τ))

其中k表示迭代索引。

定理6.1（迭代过程收敛性）： 在时间步长τ和f的利普希茨常数的适当条件下，迭代过程在每个时间步收敛到非线性离散问题的唯一解。

证明采用了不动点论证并利用了线性化算子的稳定性性质。

7. 关键见解

8. 结论

本工作对Ball积分微分方程抽象类似物的三层半离散格式进行了全面分析。主要贡献包括：

• 开发了具有非线性项积分均值逼近的对称三层格式
• 证明了非线性离散解及其差商的一致有界性
• 使用切比雪夫多项式推导了高阶先验估计
• 建立了非线性离散问题的稳定性
• 提供了光滑解的误差估计
• 证明了用于求解每个时间步非线性系统的迭代方法的收敛性

结果表明，所提出的格式对于逼近这类非线性演化方程的解是有效的，具有保持的稳定性和二阶精度。抽象框架使得结果适用于由类似积分微分方程描述的数学物理中的广泛具体问题。

未来的研究方向包括扩展到全离散格式、自适应时间步长策略以及应用于具体物理模型，如粘弹性梁和板。