1. Giriş

Bu çalışma, Ball integro-diferansiyel denkleminin soyut bir genellemesini temsil eden, bir Hilbert uzayında ikinci mertebeden doğrusal olmayan bir evrim denklemi için Cauchy problemini ele almaktadır. Denklem, ana kısmında sınırsız olabilen, kendine eşlenik pozitif tanımlı operatörlere sahiptir. Temel amaç, bu problemin çözümlerini yaklaştırmak için üç katmanlı simetrik bir yarı-ayrık şema geliştirmek ve analiz etmek olup, doğrusal olmayan terimler integral ortalamalar kullanılarak yaklaştırılmıştır.

Ele alınan denklem, J.M. Ball'ın kiriş denklemini genelleştirmektedir; ki bu denklem de başlangıçta S. Woinowsky-Krieger tarafından türetilen Kirchhoff-tipi doğrusal olmayan kiriş denklemini genişletmiştir. Ball'ın katkısı, hem dış hem de iç sönüm etkilerini hesaba katmak için sönüm terimleri getirmiştir. Kirchhoff denklemlerinin incelenmesi Bernstein'ın öncü çalışmasıyla başlamış ve Arosio, Panizzi, Berselli, Manfrin, D'Ancona, Spagnolo, Medeiros, Matos, Nishihara ve diğerleri dahil olmak üzere çok sayıda araştırmacı tarafından genişletilmiştir.

Önceki araştırmalar, Kirchhoff-tipi denklemler için iyi konulmuşluk, global çözülebilirlik ve düşük düzenlilik çözümlerinin varlığı gibi çeşitli yönlere odaklanmıştır. Bu çalışmada ele alınan soyut analog, ana operatörün karesinin doğrusal kısımda yer almasından faydalanır, bu da gerekli önsel tahminlerin elde edilmesini kolaylaştırır.

2. Matematiksel Formülasyon

Cauchy problemi, ikinci mertebeden doğrusal olmayan evrim denklemi için bir H Hilbert uzayında formüle edilmiştir:

u''(t) + A u(t) + M(||B u(t)||²) u(t) = f(t, u(t), u'(t)), t ∈ (0,T]

başlangıç koşulları ile:

u(0) = u₀, u'(0) = u₁

burada A ve B, H'de kendine eşlenik pozitif tanımlı operatörlerdir (potansiyel olarak sınırsız) ve M, integral ortalama yaklaşımını temsil eden doğrusal olmayan bir fonksiyondur. ||B u(t)||² terimi, soyut ortamdaki gradyanın normunun karesini belirtir.

A ve B operatörleri, problemin iyi konulmuşluğunu sağlayan belirli spektral koşulları sağlar. M doğrusalsızlığının yerel Lipschitz sürekli olduğu ve çözümlerin varlığını ve tekliğini garanti etmek için uygun büyüme koşullarını sağladığı varsayılır.

3. Üç Katmanlı Yarı-Ayrık Şema

Zamansal ayrıklaştırma için önerilen üç katmanlı yarı-ayrık şema şu şekilde verilir:

(u^{n+1} - 2u^n + u^{n-1})/τ² + A u^n + M(||B u^n||²) u^n = f(t_n, u^n, (u^{n+1} - u^{n-1})/(2τ))

burada τ zaman adım boyutunu temsil eder, u^n, t_n = nτ zamanındaki u(t_n) değerini yaklaştırır ve gradyanı içeren doğrusal olmayan terimler integral ortalamalar kullanılarak yaklaştırılır.

Şema simetriktir ve sürekli problemin belirli enerji özelliklerini koruyacak şekilde tasarlanmıştır. Doğrusal olmayan terimlerin integral ortalamalar kullanılarak yaklaştırılması, basit doğrusallaştırma yaklaşımlarına kıyasla daha iyi kararlılık özellikleri sağlar.

Ayrık başlangıç koşulları şunlardır:

u⁰ = u₀, u¹ = u₀ + τ u₁ + (τ²/2)(-A u₀ - M(||B u₀||²) u₀ + f(0, u₀, u₁))

4. Kararlılık Analizi

Kararlılık analizi birkaç aşamada ilerler. İlk olarak, doğrusal olmayan ayrık problemin çözümünün ve birinci mertebe türevinin karşılık gelen fark analogunun düzgün sınırlılığını tesis ederiz.

Teorem 4.1 (Düzgün Sınırlılık): A, B operatörleri ve M doğrusalsızlığı üzerine uygun varsayımlar altında, doğrusal olmayan ayrık problemin {u^n} çözümü ve {(u^{n+1} - u^n)/τ} fark bölümü, ayrıklaştırma parametresi τ'ya göre düzgün sınırlıdır.

Karşılık gelen doğrusal ayrık problem için, iki değişkenli Chebyshev polinomlarını kullanarak yüksek mertebeden önsel tahminler türetiyoruz. Bu tahminler, doğrusal olmayan ayrık problemin kararlılığını tesis etmek için çok önemlidir.

Teorem 4.2 (Kararlılık): Üç katmanlı yarı-ayrık şema kararlıdır, yani başlangıç verilerindeki ve sağ taraftaki küçük pertürbasyonlar, sayısal çözümde küçük değişikliklere yol açar ve büyütme faktörü ayrıklaştırma parametreleri tarafından kontrol edilir.

Kanıt, enerji tahminlerine ve integral ortalama yaklaşımı yoluyla doğrusal olmayan terimlerin dikkatli bir şekilde ele alınmasına dayanır.

5. Yakınsaklık Sonuçları

Düzgün çözümler için, yaklaşık çözümün hata tahminlerini sağlıyoruz. Temel yakınsaklık sonucu aşağıdaki teoremde özetlenmiştir:

Teorem 5.1 (Hata Tahmini): Kesin çözüm u(t)'nin yeterince düzgün olduğunu varsayalım. O zaman, τ'dan bağımsız bir C > 0 sabiti vardır, öyle ki hata e^n = u(t_n) - u^n aşağıdakini sağlar:

max₀≤n≤N ||e^n|| ≤ C τ²

burada N = T/τ zaman adım sayısıdır.

Kanıt, tutarlılık analizini, kararlılık sonuçlarını ve doğrusal olmayan terimler için integral ortalamanın yaklaşım özelliklerini kullanır. Üç katmanlı şemanın simetrisi ve doğrusalsızlıkların dikkatli bir şekilde ele alınması sayesinde ikinci mertebeden doğruluk elde edilir.

6. İterasyon Yöntemi

Her bir zamansal adım için yaklaşık bir çözüm bulmak üzere bir iterasyon yöntemi uygulanır. n+1 zaman adımında doğrusal olmayan ayrık problemi çözmek için yinelemeli şema şu şekilde verilir:

(u^{n+1,k+1} - 2u^n + u^{n-1})/τ² + A u^n + M(||B u^n||²) u^n = f(t_n, u^n, (u^{n+1,k} - u^{n-1})/(2τ))

burada k, iterasyon indeksini belirtir.

Teorem 6.1 (İterasyon Sürecinin Yakınsaklığı): Zaman adımı τ ve f'nin Lipschitz sabiti üzerine uygun koşullar altında, iterasyon süreci her zaman adımında doğrusal olmayan ayrık problemin tek çözümüne yakınsar.

Kanıt, sabit nokta argümanlarını kullanır ve doğrusallaştırılmış operatörlerin kararlılık özelliklerinden faydalanır.

7. Temel İçgörüler

8. Sonuç

Bu çalışma, Ball integro-diferansiyel denkleminin soyut bir analogu için üç katmanlı yarı-ayrık bir şemanın kapsamlı bir analizini sunmaktadır. Temel katkılar şunları içerir:

• Doğrusal olmayan terimler için integral ortalama yaklaşımına sahip simetrik bir üç katmanlı şema geliştirilmesi
• Doğrusal olmayan ayrık çözüm ve onun fark bölümü için düzgün sınırlılık kanıtı
• Chebyshev polinomları kullanılarak yüksek mertebeden önsel tahminlerin türetilmesi
• Doğrusal olmayan ayrık problem için kararlılığın tesis edilmesi
• Düzgün çözümler için hata tahminlerinin sağlanması
• Her zaman adımında doğrusal olmayan sistemi çözmek için kullanılan iterasyon yönteminin yakınsaklığının kanıtlanması

Sonuçlar, önerilen şemanın, bu sınıf doğrusal olmayan evrim denklemlerinin çözümlerini yaklaştırmak için, kararlılığı korunmuş ve ikinci mertebeden doğruluğa sahip olarak etkili olduğunu göstermektedir. Soyut çerçeve, sonuçları benzer integro-diferansiyel denklemlerle tanımlanan matematiksel fizikteki geniş bir somut problem yelpazesine uygulanabilir kılar.

Gelecekteki araştırma yönleri, tamamen ayrık şemalara genişletme, uyarlanabilir zaman adımlama stratejileri ve viskoelastik kirişler ve plakalar gibi belirli fiziksel modellere uygulamaları içerir.