1. Introduzione

Questo lavoro affronta il problema di Cauchy per un'equazione di evoluzione non lineare del secondo ordine in uno spazio di Hilbert, che rappresenta una generalizzazione astratta dell'equazione integro-differenziale di Palla. L'equazione presenta operatori autoaggiunti positivamente definiti nella sua parte principale, che possono essere non limitati. L'obiettivo primario è sviluppare e analizzare uno schema semi-discreto simmetrico a tre strati per approssimare le soluzioni di questo problema, con termini non lineari approssimati utilizzando medie integrali.

L'equazione in esame generalizza l'equazione della trave di J.M. Ball, che a sua volta estese l'equazione non lineare di tipo Kirchhoff per travi originariamente derivata da S. Woinowsky-Krieger. Il contributo di Ball introdusse termini di smorzamento per tenere conto sia degli effetti di smorzamento esterni che interni. L'indagine delle equazioni di Kirchhoff iniziò con il lavoro seminale di Bernstein e da allora è stata ampliata da numerosi ricercatori tra cui Arosio, Panizzi, Berselli, Manfrin, D'Ancona, Spagnolo, Medeiros, Matos, Nishihara e altri.

La ricerca precedente si è concentrata su vari aspetti tra cui la buona posizione, la risolubilità globale e l'esistenza di soluzioni a bassa regolarità per equazioni di tipo Kirchhoff. L'analogo astratto considerato in questo lavoro beneficia della partecipazione del quadrato dell'operatore principale nella parte lineare, che facilita l'ottenimento delle necessarie stime a priori.

2. Formulazione Matematica

Il problema di Cauchy è formulato in uno spazio di Hilbert H per l'equazione di evoluzione non lineare del secondo ordine:

u''(t) + A u(t) + M(||B u(t)||²) u(t) = f(t, u(t), u'(t)), t ∈ (0,T]

con condizioni iniziali:

u(0) = u₀, u'(0) = u₁

dove A e B sono operatori autoaggiunti positivamente definiti in H, potenzialmente non limitati, e M è una funzione non lineare che rappresenta l'approssimazione della media integrale. Il termine ||B u(t)||² denota il quadrato della norma del gradiente nell'impostazione astratta.

Gli operatori A e B soddisfano determinate condizioni spettrali che garantiscono la buona posizione del problema. Si assume che la non linearità M sia localmente Lipschitz continua e soddisfi appropriate condizioni di crescita per garantire l'esistenza e l'unicità delle soluzioni.

3. Schema Semi-Discreto a Tre Strati

Lo schema semi-discreto a tre strati proposto per la discretizzazione temporale è dato da:

(u^{n+1} - 2u^n + u^{n-1})/τ² + A u^n + M(||B u^n||²) u^n = f(t_n, u^n, (u^{n+1} - u^{n-1})/(2τ))

dove τ rappresenta l'ampiezza del passo temporale, u^n approssima u(t_n) al tempo t_n = nτ, e i termini non lineari che coinvolgono il gradiente sono approssimati utilizzando medie integrali.

Lo schema è simmetrico e progettato per preservare determinate proprietà energetiche del problema continuo. L'approssimazione dei termini non lineari utilizzando medie integrali garantisce migliori proprietà di stabilità rispetto agli approcci di linearizzazione diretta.

Le condizioni iniziali discrete sono:

u⁰ = u₀, u¹ = u₀ + τ u₁ + (τ²/2)(-A u₀ - M(||B u₀||²) u₀ + f(0, u₀, u₁))

4. Analisi di Stabilità

L'analisi di stabilità procede in diverse fasi. Per prima cosa, stabiliamo la limitatezza uniforme della soluzione del problema discreto non lineare e del suo analogo differenziale corrispondente della derivata del primo ordine.

Teorema 4.1 (Limitazione Uniforme): Sotto opportune ipotesi sugli operatori A, B e sulla non linearità M, la soluzione {u^n} del problema discreto non lineare e il quoziente differenziale {(u^{n+1} - u^n)/τ} sono uniformemente limitati rispetto al parametro di discretizzazione τ.

Per il corrispondente problema discreto lineare, deriviamo stime a priori di ordine superiore utilizzando polinomi di Chebyshev a due variabili. Queste stime sono cruciali per stabilire la stabilità del problema discreto non lineare.

Teorema 4.2 (Stabilità): Lo schema semi-discreto a tre strati è stabile, nel senso che piccole perturbazioni nei dati iniziali e nel termine noto portano a piccoli cambiamenti nella soluzione numerica, con il fattore di amplificazione controllato dai parametri di discretizzazione.

La dimostrazione si basa su stime energetiche e sul trattamento attento dei termini non lineari attraverso l'approssimazione della media integrale.

5. Risultati di Convergenza

Per soluzioni regolari, forniamo stime dell'errore per la soluzione approssimata. Il principale risultato di convergenza è riassunto nel seguente teorema:

Teorema 5.1 (Stima dell'Errore): Si assuma che la soluzione esatta u(t) sia sufficientemente regolare. Allora esiste una costante C > 0, indipendente da τ, tale che l'errore e^n = u(t_n) - u^n soddisfa:

max₀≤n≤N ||e^n|| ≤ C τ²

dove N = T/τ è il numero di passi temporali.

La dimostrazione utilizza l'analisi di consistenza, i risultati di stabilità e le proprietà di approssimazione della media integrale per i termini non lineari. L'accuratezza del secondo ordine è ottenuta grazie alla simmetria dello schema a tre strati e al trattamento attento delle non linearità.

6. Metodo di Iterazione

Viene applicato un metodo di iterazione per trovare una soluzione approssimata per ogni passo temporale. Lo schema iterativo per risolvere il problema discreto non lineare al passo temporale n+1 è dato da:

(u^{n+1,k+1} - 2u^n + u^{n-1})/τ² + A u^n + M(||B u^n||²) u^n = f(t_n, u^n, (u^{n+1,k} - u^{n-1})/(2τ))

dove k denota l'indice di iterazione.

Teorema 6.1 (Convergenza del Processo Iterativo): Sotto opportune condizioni sul passo temporale τ e sulla costante di Lipschitz di f, il processo iterativo converge all'unica soluzione del problema discreto non lineare ad ogni passo temporale.

La dimostrazione impiega argomenti di punto fisso e utilizza le proprietà di stabilità degli operatori linearizzati.

7. Approfondimenti Chiave

8. Conclusione

Questo lavoro presenta un'analisi completa di uno schema semi-discreto a tre strati per un analogo astratto dell'equazione integro-differenziale di Palla. I principali contributi includono:

• Sviluppo di uno schema simmetrico a tre strati con approssimazione della media integrale per termini non lineari
• Dimostrazione della limitatezza uniforme per la soluzione discreta non lineare e il suo quoziente differenziale
• Derivazione di stime a priori di ordine superiore utilizzando polinomi di Chebyshev
• Stabilimento della stabilità per il problema discreto non lineare
• Fornitura di stime dell'errore per soluzioni regolari
• Dimostrazione della convergenza per il metodo di iterazione utilizzato per risolvere il sistema non lineare ad ogni passo temporale

I risultati dimostrano che lo schema proposto è efficace per approssimare le soluzioni di questa classe di equazioni di evoluzione non lineari, con stabilità mantenuta e accuratezza del secondo ordine. Il quadro astratto rende i risultati applicabili a un'ampia gamma di problemi concreti nella fisica matematica descritti da simili equazioni integro-differenziali.

Le direzioni future di ricerca includono l'estensione a schemi completamente discreti, strategie di adattamento del passo temporale e applicazioni a modelli fisici specifici come travi e piastre viscoelastiche.