১. ভূমিকা

এই কাজটি একটি হিলবার্ট স্পেসে একটি দ্বিতীয়-ক্রমের অরৈখিক বিবর্তন সমীকরণের জন্য কোশি সমস্যা সমাধান করে, যা বল ইন্টিগ্রো-ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের একটি বিমূর্ত সাধারণীকরণ উপস্থাপন করে। সমীকরণটির মূল অংশে স্ব-সংলগ্ন ধনাত্মক সংজ্ঞায়িত অপারেটর রয়েছে, যা অপরিবদ্ধ হতে পারে। প্রাথমিক উদ্দেশ্য হল এই সমস্যার সমাধান আনুমানিক করার জন্য একটি তিন-স্তরীয় প্রতিসম আধা-বিচ্ছিন্ন স্কিম তৈরি ও বিশ্লেষণ করা, যেখানে অরৈখিক পদগুলি ইন্টিগ্রাল গড় ব্যবহার করে আনুমানিক করা হয়।

বিবেচনাধীন সমীকরণটি জে.এম. বলের বিম সমীকরণকে সাধারণীকরণ করে, যা মূলত এস. ওয়োইনোস্কি-ক্রিগার দ্বারা উদ্ভূিত কিরশহফ-ধরনের অরৈখিক সমীকরণকে বিমের জন্য প্রসারিত করেছিল। বলের অবদানটি বাহ্যিক এবং অভ্যন্তরীণ ড্যাম্পিং প্রভাব উভয়ের জন্য অ্যাকাউন্ট করতে ড্যাম্পিং পদ প্রবর্তন করেছিল। কিরশহফ সমীকরণের তদন্ত শুরু হয়েছিল বার্নস্টাইনের যুগান্তকারী কাজের সাথে এবং তারপর থেকে আরোসিও, পানিজ্জি, বারসেলি, মানফ্রিন, ডি'আনকোনা, স্পাগনোলো, মেডেইরোস, মাটোস, নিশিহারা এবং অন্যান্য সহ অসংখ্য গবেষক দ্বারা প্রসারিত হয়েছে।

পূর্ববর্তী গবেষণা কিরশহফ-ধরনের সমীকরণগুলির জন্য সু-স্থাপন, গ্লোবাল সমাধানযোগ্যতা এবং নিম্ন-নিয়মিততার সমাধানের অস্তিত্ব সহ বিভিন্ন দিক নিয়ে মনোনিবেশ করেছে। এই কাজে বিবেচিত বিমূর্ত অ্যানালগটি রৈখিক অংশে মূল অপারেটরের বর্গের অংশগ্রহণ থেকে উপকৃত হয়, যা প্রয়োজনীয় অগ্রাধিকার অনুমান প্রাপ্তিতে সহায়তা করে।

২. গাণিতিক গঠন

কোশি সমস্যাটি একটি হিলবার্ট স্পেস H-এ দ্বিতীয়-ক্রমের অরৈখিক বিবর্তন সমীকরণের জন্য গঠন করা হয়েছে:

u''(t) + A u(t) + M(||B u(t)||²) u(t) = f(t, u(t), u'(t)), t ∈ (0,T]

প্রাথমিক শর্ত সহ:

u(0) = u₀, u'(0) = u₁

যেখানে A এবং B হল H-তে স্ব-সংলগ্ন ধনাত্মক সংজ্ঞায়িত অপারেটর, সম্ভাব্যভাবে অপরিবদ্ধ, এবং M হল একটি অরৈখিক ফাংশন যা ইন্টিগ্রাল গড় আনুমানিকতা উপস্থাপন করে। পদটি ||B u(t)||² বিমূর্ত সেটিং-এ গ্রেডিয়েন্টের নর্মের বর্গ নির্দেশ করে।

অপারেটর A এবং B নির্দিষ্ট বর্ণালী শর্ত পূরণ করে যা সমস্যাটির সু-স্থাপন নিশ্চিত করে। ধরে নেওয়া হয় যে অরৈখিকতা M স্থানীয়ভাবে লিপশিটজ অবিচ্ছিন্ন এবং সমাধানের অস্তিত্ব ও স্বতন্ত্রতা নিশ্চিত করতে উপযুক্ত বৃদ্ধি শর্ত পূরণ করে।

৩. তিন-স্তরীয় আধা-বিচ্ছিন্ন স্কিম

প্রস্তাবিত তিন-স্তরীয় আধা-বিচ্ছিন্ন স্কিম টেম্পোরাল বিচ্ছিন্নকরণের জন্য দেওয়া হয়েছে:

(u^{n+1} - 2u^n + u^{n-1})/τ² + A u^n + M(||B u^n||²) u^n = f(t_n, u^n, (u^{n+1} - u^{n-1})/(2τ))

যেখানে τ সময় ধাপের আকার উপস্থাপন করে, u^n সময় t_n = nτ-এ u(t_n) আনুমানিক করে, এবং গ্রেডিয়েন্ট জড়িত অরৈখিক পদগুলি ইন্টিগ্রাল গড় ব্যবহার করে আনুমানিক করা হয়।

স্কিমটি প্রতিসম এবং অবিচ্ছিন্ন সমস্যার নির্দিষ্ট শক্তি বৈশিষ্ট্য সংরক্ষণ করার জন্য ডিজাইন করা হয়েছে। ইন্টিগ্রাল গড় ব্যবহার করে অরৈখিক পদগুলির আনুমানিকতা সরলরৈখিককরণ পদ্ধতির তুলনায়更好的 স্থিতিশীলতা বৈশিষ্ট্য নিশ্চিত করে।

বিচ্ছিন্ন প্রাথমিক শর্তগুলি হল:

u⁰ = u₀, u¹ = u₀ + τ u₁ + (τ²/2)(-A u₀ - M(||B u₀||²) u₀ + f(0, u₀, u₁))

৪. স্থিতিশীলতা বিশ্লেষণ

স্থিতিশীলতা বিশ্লেষণ কয়েকটি পর্যায়ে এগিয়ে যায়। প্রথমত, আমরা অরৈখিক বিচ্ছিন্ন সমস্যার সমাধানের অভিন্ন সীমাবদ্ধতা এবং প্রথম-ক্রমের ডেরিভেটিভের তার সংশ্লিষ্ট পার্থক্য অ্যানালগ প্রতিষ্ঠা করি।

উপপাদ্য ৪.১ (অভিন্ন সীমাবদ্ধতা): অপারেটর A, B এবং অরৈখিকতা M-এর উপর উপযুক্ত ধারণার অধীনে, অরৈখিক বিচ্ছিন্ন সমস্যার সমাধান {u^n} এবং পার্থক্য ভাগফল {(u^{n+1} - u^n)/τ} বিচ্ছিন্নকরণ প্যারামিটার τ-এর সাপেক্ষে অভিন্নভাবে সীমাবদ্ধ।

সংশ্লিষ্ট রৈখিক বিচ্ছিন্ন সমস্যার জন্য, আমরা দুই-ভেরিয়েবল চেবিশেভ বহুপদ ব্যবহার করে উচ্চ-ক্রমের অগ্রাধিকার অনুমান উদ্ভূত করি। এই অনুমানগুলি অরৈখিক বিচ্ছিন্ন সমস্যার স্থিতিশীলতা প্রতিষ্ঠার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

উপপাদ্য ৪.২ (স্থিতিশীলতা): তিন-স্তরীয় আধা-বিচ্ছিন্ন স্কিমটি স্থিতিশীল, অর্থাৎ প্রাথমিক তথ্য এবং ডানপক্ষের ছোট বিঘ্ন সাংখ্যিক সমাধানে ছোট পরিবর্তনের দিকে নিয়ে যায়, যেখানে পরিবর্ধন ফ্যাক্টর বিচ্ছিন্নকরণ প্যারামিটার দ্বারা নিয়ন্ত্রিত।

প্রমাণটি শক্তি অনুমান এবং ইন্টিগ্রাল গড় আনুমানিকতার মাধ্যমে অরৈখিক পদগুলির সতর্ক চিকিত্সার উপর নির্ভর করে।

৫. অভিসারী ফলাফল

মসৃণ সমাধানের জন্য, আমরা আনুমানিক সমাধানের জন্য ত্রুটি অনুমান প্রদান করি। মূল অভিসারী ফলাফল নিম্নলিখিত উপপাদ্যে সংক্ষিপ্ত করা হয়েছে:

উপপাদ্য ৫.১ (ত্রুটি অনুমান): ধরে নিন যে সঠিক সমাধান u(t) পর্যাপ্ত মসৃণ। তাহলে একটি ধ্রুবক C > 0 বিদ্যমান, τ-এর থেকে স্বাধীন, যেমন ত্রুটি e^n = u(t_n) - u^n সন্তুষ্ট করে:

max₀≤n≤N ||e^n|| ≤ C τ²

যেখানে N = T/τ হল সময় ধাপের সংখ্যা।

প্রমাণটি সামঞ্জস্য বিশ্লেষণ, স্থিতিশীলতা ফলাফল এবং অরৈখিক পদগুলির জন্য ইন্টিগ্রাল গড়ের আনুমানিক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে। দ্বিতীয়-ক্রমের নির্ভুলতা তিন-স্তরীয় স্কিমের প্রতিসাম্য এবং অরৈখিকতাগুলির সতর্ক চিকিত্সার কারণে অর্জন করা হয়।

৬. পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি

প্রতিটি অস্থায়ী ধাপের জন্য একটি আনুমানিক সমাধান খুঁজে পেতে একটি পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি প্রয়োগ করা হয়। সময় ধাপ n+1-এ অরৈখিক বিচ্ছিন্ন সমস্যা সমাধানের জন্য পুনরাবৃত্তিমূলক স্কিম দেওয়া হয়েছে:

(u^{n+1,k+1} - 2u^n + u^{n-1})/τ² + A u^n + M(||B u^n||²) u^n = f(t_n, u^n, (u^{n+1,k} - u^{n-1})/(2τ))

যেখানে k পুনরাবৃত্তি সূচক নির্দেশ করে।

উপপাদ্য ৬.১ (পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়ার অভিসারীতা): সময় ধাপ τ এবং f-এর লিপশিটজ ধ্রুবকের উপর উপযুক্ত শর্তের অধীনে, পুনরাবৃত্তি প্রক্রিয়াটি প্রতিটি সময় ধাপে অরৈখিক বিচ্ছিন্ন সমস্যার অনন্য সমাধানে অভিসৃত হয়।

প্রমাণটি স্থির-বিন্দু যুক্তি নিয়োগ করে এবং রৈখিককৃত অপারেটরগুলির স্থিতিশীলতা বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে।

৭. মূল অন্তর্দৃষ্টি

৮. উপসংহার

এই কাজটি একটি বিমূর্ত বল ইন্টিগ্রো-ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের অ্যানালগের জন্য একটি তিন-স্তরীয় আধা-বিচ্ছিন্ন স্কিমের একটি ব্যাপক বিশ্লেষণ উপস্থাপন করে। মূল অবদানগুলির মধ্যে রয়েছে:

• অরৈখিক পদগুলির জন্য ইন্টিগ্রাল গড় আনুমানিকতা সহ একটি প্রতিসম তিন-স্তরীয় স্কিমের উন্নয়ন
• অরৈখিক বিচ্ছিন্ন সমাধান এবং তার পার্থক্য ভাগফলের জন্য অভিন্ন সীমাবদ্ধতার প্রমাণ
• চেবিশেভ বহুপদ ব্যবহার করে উচ্চ-ক্রমের অগ্রাধিকার অনুমান উদ্ভাবন
• অরৈখিক বিচ্ছিন্ন সমস্যার জন্য স্থিতিশীলতা প্রতিষ্ঠা
• মসৃণ সমাধানের জন্য ত্রুটি অনুমান প্রদান
• প্রতিটি সময় ধাপে অরৈখিক সিস্টেম সমাধানের জন্য ব্যবহৃত পুনরাবৃত্তি পদ্ধতির অভিসারীতার প্রমাণ

ফলাফলগুলি প্রদর্শন করে যে প্রস্তাবিত স্কিমটি অরৈখিক বিবর্তন সমীকরণের এই শ্রেণীর সমাধান আনুমানিক করার জন্য কার্যকর, স্থিতিশীলতা বজায় রাখা এবং দ্বিতীয়-ক্রমের নির্ভুলতার সাথে। বিমূর্ত কাঠামো ফলাফলগুলিকে গাণিতিক পদার্থবিজ্ঞানে অনুরূপ ইন্টিগ্রো-ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা বর্ণিত কংক্রিট সমস্যার একটি বিস্তৃত পরিসরে প্রয়োগযোগ্য করে তোলে।

ভবিষ্যতের গবেষণার দিকগুলির মধ্যে সম্পূর্ণরূপে বিচ্ছিন্ন স্কিমে সম্প্রসারণ, অভিযোজিত সময়-ধাপ কৌশল এবং ভিস্কোইলাস্টিক বিম এবং প্লেটের মতো নির্দিষ্ট ভৌত মডেলগুলিতে প্রয়োগ অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।