1. المقدمة

يتناول هذا العمل مسألة كوشي لمعادلة تطور غير خطية من الرتبة الثانية في فضاء هلبرت، تمثل تعميماً مجرداً لمعادلة بال التكاملية التفاضلية. تتميز المعادلة بوجود مؤثرات ذاتية-المرافقة موجبة التحديد في جزئها الرئيسي، والتي قد تكون غير محدودة. الهدف الأساسي هو تطوير وتحليل مخطط شبه منفقر متماثل ثلاثي الطبقات لتقريب حلول هذه المسألة، مع تقريب الحدود غير الخطية باستخدام المتوسطات التكاملية.

المعادلة قيد الدراسة تعمم معادلة العارضة لـ جي. إم. بال، والتي وسعت بدورها معادلة كيرشهوف غير الخطية للعارضات التي اشتقها أصلاً س. فوينوفسكي-كريجر. أضاف بال حدود التخميد لمراعاة تأثيرات التخميد الخارجية والداخلية. بدأت دراسة معادلات كيرشهوف مع العمل المؤسس لبيرنشتاين وتم توسيعها منذ ذلك الحين من قبل العديد من الباحثين بما في ذلك أروسيو، بانيزي، بيرسيللي، مانفرين، دانكونا، سبانيولو، ميديروس، ماتوس، نيشيهارا، وآخرون.

ركزت الأبحاث السابقة على جوانب مختلفة تشمل حسن التوضع، القابلية للحل الشامل، ووجود حلول ذات انتظام منخفض لمعادلات نوع كيرشهوف. يستفيد النظير المجرد المدروس في هذا العمل من مشاركة مربع المؤثر الرئيسي في الجزء الخطي، مما يسهل الحصول على التقديرات المسبقة اللازمة.

2. الصياغة الرياضية

تمت صياغة مسألة كوشي في فضاء هلبرت H للمعادلة التطورية غير الخطية من الرتبة الثانية:

u''(t) + A u(t) + M(||B u(t)||²) u(t) = f(t, u(t), u'(t)), t ∈ (0,T]

بشروط ابتدائية:

u(0) = u₀, u'(0) = u₁

حيث A و B مؤثران ذاتيا-المرافقة موجبة التحديد في H، وقد يكونان غير محدودين، و M دالة غير خطية تمثل تقريب المتوسط التكاملي. يشير المصطلح ||B u(t)||² إلى مربع قاعدة المتجه في الإعداد المجرد.

يحقق المؤثران A و B شروط طيفية معينة تضمن حسن توضع المسألة. يفترض أن الدالة غير الخطية M مستمرة بشروط ليبشيتز محلياً وتحقق شروط نمو مناسبة لضمان وجود ووحدانية الحلول.

3. المخطط الشبه المنفصل ثلاثي الطبقات

المخطط الشبه المنفصل ثلاثي الطبقات المقترح للتقطيع الزمني يعطى بالعلاقة:

(u^{n+1} - 2u^n + u^{n-1})/τ² + A u^n + M(||B u^n||²) u^n = f(t_n, u^n, (u^{n+1} - u^{n-1})/(2τ))

حيث τ تمثل حجم الخطوة الزمنية، u^n تقرب u(t_n) عند الزمن t_n = nτ، وتقرب الحدود غير الخطية المتعلقة بالمتجه باستخدام المتوسطات التكاملية.

المخطط متماثل ومصمم للحفاظ على خواص طاقة معينة للمسألة المستمرة. يضمن تقريب الحدود غير الخطية باستخدام المتوسطات التكاملية خواص استقرار أفضل مقارنة بمناهج التخطيط المباشرة.

الشروط الابتدائية المنفصلة هي:

u⁰ = u₀, u¹ = u₀ + τ u₁ + (τ²/2)(-A u₀ - M(||B u₀||²) u₀ + f(0, u₀, u₁))

4. تحليل الاستقرار

يتقدم تحليل الاستقرار في عدة مراحل. أولاً، نثبت الحدية المنتظمة لحل المسألة المنفصلة غير الخطية والنظير المنفصل المطابق للمشتقة من الرتبة الأولى.

نظرية 4.1 (الحدية المنتظمة): تحت افتراضات مناسبة على المؤثرين A و B والدالة غير الخطية M، فإن الحل {u^n} للمسألة المنفصلة غير الخطية وناتج الفرق {(u^{n+1} - u^n)/τ} محدودان بشكل منتظم بالنسبة لمعامل التقطيع τ.

للمسألة المنفصلة الخطية المطابقة، نشتق تقديرات مسبقة عالية الرتبة باستخدام كثيرات حدود شيبيشيف متعددة المتغيرات. هذه التقديرات حاسمة لإثبات استقرار المسألة المنفصلة غير الخطية.

نظرية 4.2 (الاستقرار): المخطط الشبه المنفصل ثلاثي الطبقات مستقر، مما يعني أن الاضطرابات الصغيرة في البيانات الابتدائية والطرف الأيمن تؤدي إلى تغييرات صغيرة في الحل العددي، مع تحكم معامل التضخيم بمعاملات التقطيع.

يعتمد البرهان على تقديرات الطاقة والمعالجة الدقيقة للحدود غير الخطية من خلال تقريب المتوسط التكاملي.

5. نتائج التقارب

لحلول سلسة، نقدم تقديرات خطأ للحل التقريبي. يتم تلخيص نتيجة التقارب الرئيسية في النظرية التالية:

نظرية 5.1 (تقدير الخطأ): افترض أن الحل المضبوط u(t) سلس بشكل كاف. عندئذ يوجد ثابت C > 0، مستقل عن τ، بحيث يحقق الخطأ e^n = u(t_n) - u^n:

max₀≤n≤N ||e^n|| ≤ C τ²

حيث N = T/τ هو عدد الخطوات الزمنية.

يستخدم البرهان تحليل المطابقة، نتائج الاستقرار، وخواص تقريب المتوسط التكاملي للحدود غير الخطية. يتم تحقيق الدقة من الرتبة الثانية بسبب تماثل المخطط ثلاثي الطبقات والمعالجة الدقيقة للغير خطيات.

6. طريقة التكرار

يتم تطبيق طريقة تكرارية لإيجاد حل تقريبي لكل خطوة زمنية. المخطط التكراري لحل المسألة المنفصلة غير الخطية عند الخطوة الزمنية n+1 يعطى بالعلاقة:

(u^{n+1,k+1} - 2u^n + u^{n-1})/τ² + A u^n + M(||B u^n||²) u^n = f(t_n, u^n, (u^{n+1,k} - u^{n-1})/(2τ))

حيث k تشير إلى فهرس التكرار.

نظرية 6.1 (تقارب عملية التكرار): تحت شروط مناسبة على الخطوة الزمنية τ وثابت ليبشيتز لـ f، فإن عملية التكرار تتقارب إلى الحل الوحيد للمسألة المنفصلة غير الخطية عند كل خطوة زمنية.

يستخدم البرهان حجج النقطة الثابتة ويستفيد من خواص الاستقرار للمؤثرات المخططة.

7. الرؤى الأساسية

8. الخاتمة

يقدم هذا العمل تحليلاً شاملاً لمخطط شبه منفصل ثلاثي الطبقات لنظير مجرد لمعادلة بال التكاملية التفاضلية. تشمل المساهمات الرئيسية:

• تطوير مخطط متماثل ثلاثي الطبقات مع تقريب متوسط تكاملي للحدود غير الخطية
• برهان الحدية المنتظمة للحل المنفصل غير الخطي وناتج الفرق الخاص به
• اشتقاق تقديرات مسبقة عالية الرتبة باستخدام كثيرات حدود شيبيشيف
• إثبات الاستقرار للمسألة المنفصلة غير الخطية
• توفير تقديرات خطأ للحلول السلسة
• برهان تقارب طريقة التكرار المستخدمة لحل النظام غير الخطي عند كل خطوة زمنية

تظهر النتائج أن المخطط المقترح فعال لتقريب حلول هذه الفئة من معادلات التطور غير الخطية، مع الحفاظ على الاستقرار والدقة من الرتبة الثانية. يجعل الإطار المجرد النتائج قابلة للتطبيق على نطاق واسع من المشاكل concretة في الفيزياء الرياضية الموصفة بمعادلات تكاملية تفاضلية مماثلة.

تشمل اتجاهات البحث المستقبلية التمديد إلى مخططات منفصلة بالكامل، استراتيجيات خطوات زمنية تكيفية، وتطبيقات على نماذج فيزيائية محددة مثل العارضات والصفائح المرنة لزوجياً.